题目内容
【题目】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的,其中
,
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)底面中,根据余弦定理求
,三边满足勾股定理,所以
,又根据原几何体是直平行六面体,所以
,也能证明
,这样
就垂直了平面内的两条相交直线,所以线面垂直;(Ⅱ)以点
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系,求平面
的法向量
,根据公式
.
试题解析:(Ⅰ)证明:在中,∵
,
.
由余弦定理,
,
∵,
∴,
在直平行六面体中, 平面
,
平面
,∴
,
又,
∴平面
.
(Ⅱ)解:如图以为原点建立空间直角坐标系
,
∵,
,
∴,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
令
,得
,
,
∴,
设直线和平面
的夹角为
,
∴,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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