Question

【题目】设椭圆的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆的圆心，右顶点是圆与轴的一个交点.已知椭圆与直线相交于、两点，延长与椭圆交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

（1）求出圆心，以及与轴的的交点（圆心右侧），为椭圆的右顶点，即可求出椭圆方程；

（2）根据椭圆的对称性，设，直线过，，椭圆方程与直线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出关于为变量的函数，运用换元法，结合求导，求出函数的最值，即为面积的最大值.

（1）圆，化为，

圆心，与轴交点坐标，

右顶点为，所求的椭圆方程为.

（2）设，，

由得，.

，

，

令，则，，

，

设，恒成立，

单调递增，当时，取得最小值，

此时取得最大值为3.