题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,四个点
,
,
,
中有3个点在椭圆
:
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
,
两点(
,
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴、
轴分别交于
、
两点,设直线
,
的斜率分别为
,
,证明:存在常数
使得
,并求出
的值.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】
(1)根据椭圆的对称性可知,关于轴对称的
,
在椭圆上.分类讨论,当
在椭圆上时,当
在椭圆上时,分别求解,根据
确定,即可.
(2)设,
,由题意可知
,
,设直线
的方程为
,与椭圆联立,变形整理得
,确定
,
,从而
,直线
的方程为
,分别令
、
确定点
与点
的坐标,求直线
,
的斜率分别为
,
,求解即可.
(1)∵,
关于
轴对称.
∴这2个点在椭圆上,即①
当在椭圆上时,
②
由①②解得,
.
当在椭圆上时,
③
由①③解得,
.
又
∴,
∴椭圆的方程为
.
(2)设,
,则
.
因为直线的斜率
,又
.
所以直线的斜率
.
设直线的方程为
,由题意知
,
.
由可得
,
所以,
.
由题意知,所以
,所以直线
的方程为
,令
,得
,即
,可得
,
令,得
,即
,可得
,
所以,即
,因此,存在常数
使得结论成立.
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