题目内容
【题目】已知点A是椭圆的上顶点,斜率为
的直线交椭圆E于A、M两点,点N在椭圆E上,且
.
(1)当时,求
的面积;
(2)当时,求证:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)由题意可知点M、N的纵坐标相等,横坐标互为相反数,且,设点
,代入椭圆方程求出
,利用三角形的面积公式即可求解.
(2)将直线与椭圆
联立,求出
、
,由
可得,
,令
,利用导函数求出函数的单调区间,再利用零点存在性定理即可判断出
的取值范围.
(1)由对称性知点M、N的纵坐标相等,横坐标互为相反数,且,
于是可以设点其中
,于是
,解得
,
所以;
(2)据题意,直线,联立椭圆E,
得:,即:
,
则,那么
,
同理,知:,
由,得:
,即:
,
令,则
,
所以单调增,又
,
,
故存在唯一零点
,即
.
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