题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,侧棱
底面ABCD,AB垂直于AD和BC,
,且
.M是棱SB的中点.
(Ⅰ)求证:面SCD;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,写出相应点的坐标.
(Ⅰ)求出平面SCD的法向量,根据空间向量数量积的计算公式,结合线面平行的判定定理证明即可;
(Ⅱ)利用空间向量夹角公式直接求解即可;
(Ⅲ)利用空间向量夹角公式求出的表达式,利用配方法求出
的最大值.
以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,
,
,
.
(Ⅰ),
,
.
设平面SCD的法向量是,则
,即
令,则
,
.于是
.
,
.
又平面SCD,
平面SCD.
(Ⅱ)易知平面ASD的法向量为.设平面SCD与平面ASD所成的二面角为
,
则,
二面角
的余弦值
.
(Ⅲ)易知:平面ASB的法向量为
设,则
.
.
当,即
时,
.
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