Question

1．设f（x）是定义在R上的函数，且满足下列关系：f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则函数f（x）为奇函数．（填奇、偶）

Answer 1

分析 将题中两个等式相结合，运用变量代换的方法可证出f（40+x）=f（x），从而得出f（x）是周期T=40的周期函数，再根据f（-x）=f（40-x）结合f（20-x）=-f（20+x），可证出f（-x）=f（x），从而得到本题的答案．

解答 解：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．
∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）
∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；
又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．
故答案为：奇．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，着重考查了函数的定义和抽象函数的应用等知识，根据条件推出函数的周期是解决本题的关键．．