Question

12．已知集合A={x|ax²+3x+1=0，x∈R}．
（1）A中只有一个元素，求a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）集合的属性是一个关于x的方程，且二次项的系数是字母，故A中只有一个元素时要考虑二次项系数为0的情况，此题应分为两类求解，当a=0时与当a≠0时，分别转化求出求a的值；
（2）A中至多有一个元素，限制词中的至多说明A可能只有一个元素或者没有元素，故分为两类求解，由（1）知A中只有一个元素时参数的取值范围，再求出A为空集时参数的取值范围，取两部分的并集即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，A={x|3x+1=0}={-$\frac{1}{3}$}，符合条件；
当a≠0时，方程ax²+3x+1=0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，
则方程ax²+3x+1=0只有一个实数解，所以△=9-4a=0⇒a=$\frac{9}{4}$．
所以，a的值为0或$\frac{9}{4}$．
（2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A=∅．
由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或$\frac{9}{4}$；
若A=∅，则方程ax²+2x+1=0无实数解，所以△=9-4a＜0⇒a＞$\frac{9}{4}$．
所以，a≥$\frac{9}{4}$或a=0．

点评 本题考查集合中的参数取值问题，解题的关键是理解题意，将问题进行正确转化，此类题易因为理解不全面，漏掉特殊情况致错，（1）中易漏掉a=0时的情况，（2）中易漏掉空集这种情况，解题时要注意考虑全面，本题考查了推理判断的能力及计算能力，是集合中综合性较强的题，即考查了集合的概念，也考查了二次函数的性质．