Question

13．已知集合A={x|$\frac{x-3}{2-x}$≥0}，B={x|1+2ax＜a+x，a∈R⁺}，如果A?B，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 化简集合A=（2，3]，再化简集合B，从而分类讨论即可．

解答 解：A={x|$\frac{x-3}{2-x}$≥0}=（2，3]，
∵1+2ax＜a+x，
∴（2a-1）x＜a-1，
①当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，x＞$\frac{1-a}{1-2a}$，
∵A?B，
∴$\frac{1-a}{1-2a}$≤2，
∴0＜a≤$\frac{1}{3}$，
②当a=$\frac{1}{2}$时，B=∅，A?B不成立；
③当a＞$\frac{1}{2}$时，x＜$\frac{1-a}{1-2a}$，
∵A?B，
∴$\frac{1-a}{1-2a}$＞3，
无解，
综上所述，a的取值范围为（0，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查了集合的化简与集合的运算，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．