Question

9．已知圆O：x²+y²=1，P是直线l：x=4上任意一点，过P作圆O的两条切线，切点为A、B．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）求证：四边形PAOB的外接圆过除原点外的定点．

Answer 1

分析 （1）设P（4，2a），可得四边形PAOB的外接圆方程为（x-2）²+（y-a）²=4+a²，与圆O：x²+y²=1相减可得直线AB的方程为4x+2ay-1=0，令y=0，可得直线AB过定点（$\frac{1}{4}$，0）；
（2）四边形PAOB的外接圆方程为（x-2）²+（y-a）²=4+a²，即x²-4x+y²-2ay=0，令y=0，可得x²-4x=0，即可证明四边形PAOB的外接圆过除原点外的定点（4，0）．

解答 证明：（1）设P（4，2a），则四边形PAOB的外接圆方程为（x-2）²+（y-a）²=4+a²，
与圆O：x²+y²=1相减可得直线AB的方程为4x+2ay-1=0，
∴直线AB过定点（$\frac{1}{4}$，0）；
（2）四边形PAOB的外接圆方程为（x-2）²+（y-a）²=4+a²，
即x²-4x+y²-2ay=0，
令y=0，可得x²-4x=0，∴x=0或4，
∴四边形PAOB的外接圆过除原点外的定点（4，0）．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，确定四边形PAOB的外接圆方程是关键．