题目内容
【题目】（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率
，且其中一个焦点与抛物线
的焦点重合．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点
的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的方程为
，离心率
，
，抛物线
的焦点为
，所以
，椭圆C的方程是x2+
=1. …………（4分）
(Ⅱ)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+
)2+y2=
．
由
解得
即两圆相切于点(1，0)．
因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）
事实上，点T(1，0)就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+
)．由
即(k2+2)x2+
k2x+
k2-2=0.
记点A(x1,y1),B(x2,y2),则
…………（9分）
又因为
=(x1-1, y1), 
=(x2-1, y2),
·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+
)(x2+
)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+
k2+1 =(k2+1) 
+(k2-1) 
+ 
+1=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．
所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件． …………（13分）
【解析】略
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