题目内容
【题目】已知函数
．
（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若
在
上恒成立，求
的取值范围．
【答案】（1） 
（2） 详见解析（3） 
【解析】
试题分析：（1）由导数几何意义得
为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数：
，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：当
时，
，因此
在
和
上单调递增；当
时，导函数有两个零点
，因此先增再减再增（3）本题不宜变量分离，故直接研究函数
，先求导数
，导函数有两个零点
，再根据两个零点大小分类讨论：
时，
，
；
时，
；
时，
试题解析：：（1）当 
时，
，
所以，函数在点
处的切线方程为
即：
（Ⅱ）函数的定义域为：
当时，恒成立，所以，在和上单调递增
当时，令
，即：
，
，
所以，
单调递增区间为
，单调减区间为
．
（Ⅲ）因为
在上恒成立，有
在上恒成立．
所以，令，
则．
令
则
若
，即时，，函数
在上单调递增，又
所以，
在上恒成立；
若
，即时，当
时，
单调递增；
当
时，
，单调递减
所以，在上的最小值为，
因为
所以
不合题意．
即时，当
时，单调递增，
当
时，
单调递减，
所以，在上的最小值为
又因为
，所以恒成立
综上知，
的取值范围是
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【题目】简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片。当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响。在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，并将各地销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y（单位：百万元） | 2 | 3 | 2 | 7 |
表中的数据显示，
与
之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
,
．
