题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程
,点
在直线
上,直线
与曲线
交于
两点.
(1)求曲线的普通方程及直线
的参数方程;
(2)求的面积.
【答案】(1),
(
为参数);(2)
.
【解析】
(1)消参将曲线的参数方程化为普通方程,再将
的极坐标方程先化为一般方程,再化为参数方程;
(2)联立直线与椭圆方程,求出弦长,再求点
到
的距离,求出
的面积.
(1)将曲线,消去参数
得,曲线
的普通方程为
,
∵点在直线
上,∴
,
∴,展开得
,
又,
,∴直线
的直角坐标方程为
,
显然过点
,倾斜角为
,∴直线
的参数方程为
(
为参数).
(2)由(1),将直线的参数方程代入曲线
的普通方程得:
,整理得
,显然
,
设对应的参数为
,
,则由韦达定理得
,
,
由参数的几何意义得
,
又原点到直线
的距离为
,
因此,的面积为
.
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