题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的零点个数;
(2)若(为给定的常数,且),记在区间上的最小值为,求证:.
【答案】(1)①当时,无零点;②当时,有一个零点;③当时,有两个零点;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据解析式求得导函数,并令求得极值点.在极值点两侧,判断导函数的符号,并求得最小值.结合当及时函数值特征,即可确定零点个数.
(2)根据及,可得.进而确定的表达式,代入不等式化简变形,并令,构造函数,求得后由导函数符号判断的单调性及最值,即可证明不等式成立.
(1)函数,
则,
令,解得,
当时,,所以在为单调递减;
当时,,所以在为单调递增;
所以,
当时;
当时;
①当,即时,无零点;
②当,即时,有一个零点;
③当,即时,有两个零点;
(2)证明:因为,
所以,
由(1)可知在区间上的最小值,
,
所以不等式可化为
,
移项化简可得,
所以,
即,
令,则.
所以原不等式可化为,
令.
则,
所以在单调递减,
则,
即成立,
原不等式得证.
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