题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的零点个数;
(2)若(
为给定的常数,且
),记
在区间
上的最小值为
,求证:
.
【答案】(1)①当时,
无零点;②当
时,
有一个零点;③当
时,
有两个零点;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据解析式求得导函数,并令求得极值点.在极值点两侧,判断导函数的符号,并求得最小值.结合当
及
时函数值特征,即可确定零点个数.
(2)根据及
,可得
.进而确定
的表达式,代入不等式化简变形,并令
,构造函数
,求得
后由导函数符号判断
的单调性及最值,即可证明不等式成立.
(1)函数,
则,
令,解得
,
当时,
,所以
在
为单调递减;
当时,
,所以
在
为单调递增;
所以,
当时
;
当时
;
①当,即
时,
无零点;
②当,即
时,
有一个零点;
③当,即
时,
有两个零点;
(2)证明:因为,
所以,
由(1)可知在区间
上的最小值
,
,
所以不等式可化为
,
移项化简可得,
所以,
即,
令,则
.
所以原不等式可化为,
令.
则,
所以在
单调递减,
则,
即成立,
原不等式得证.

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