题目内容

【题目】已知函数.

1)讨论函数的零点个数;

2)若为给定的常数,且),记在区间上的最小值为,求证:.

【答案】1)①当时,无零点;②当时,有一个零点;③当时,有两个零点;(2)证明见解析.

【解析】

1)根据解析式求得导函数,并令求得极值点.在极值点两侧,判断导函数的符号,并求得最小值.结合当时函数值特征,即可确定零点个数.

2)根据,可得.进而确定的表达式,代入不等式化简变形,并令,构造函数,求得后由导函数符号判断的单调性及最值,即可证明不等式成立.

1)函数

,解得

时,,所以为单调递减;

时,,所以为单调递增;

所以

①当,即时,无零点;

②当,即时,有一个零点;

③当,即时,有两个零点;

2)证明:因为

所以

由(1)可知在区间上的最小值

所以不等式可化为

移项化简可得

所以

,则.

所以原不等式可化为

.

所以单调递减,

成立,

原不等式得证.

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