题目内容

10．观察下列等式
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
…
照此规律，12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2=（-1）n+1（2n2+n）（n∈N*）．

分析 通过观察等式的特点，根据等式的规律，利用归纳法得出结论．

解答 解：等式的左边分别为连续正整数的平方和，其中当n为奇数时符合为正，n为偶数时，符号为负．
所以由归纳推理可知，
12-22=-（1+2），
12-22+32=1+2+3，
12-22+32-42=-（1+2+3+4），
…
12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2=（-1）n+1[1+2+3+…+（2n-1）+2n]=（-1）n$\frac{2n（1+2n）}{2}$=（-1）n+1（2n2+n）
故答案为：-（-1）n+1（2n2+n）．

点评 本题主要考查归纳推理的应用，利用等式的特点得到等式的规律是归纳推理的实质．

练习册系列答案
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19．下列叙述中：
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③设集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$，若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
④设函数y=f（x）为函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的反函数，且y=f（-x2-ax+1）在x∈（2，3）上单调递增，则实数a∈[-4，-$\frac{8}{3}$）；
⑤若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a（x＜1）}\\{4（x-a）（x-2a），（x≥1）}\end{array}\right.$恰有2个零点，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）∪[2，+∞）．
所有正确叙述的序号是①②③⑤．
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