Question

5．设锐角△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c；已知a=2bsinA，则$\frac{a}{2c}$的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{5}）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$

Answer 1

分析 由a=2bsinA，根据正弦定理求得sinB=$\frac{1}{2}$，再由△ABC为锐角三角形可得B的大小，利用正弦定理及三角函数恒等变换可得$\frac{a}{2c}$=$\frac{sinA}{2sinC}$=$\frac{1}{4tanC}+\frac{\sqrt{3}}{4}$，由已知可求范围C∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），解得tanC∈（$\sqrt{3}$，+∞），从而得解．

解答 解：（1）∵由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，（2分）
又∵sinA＞0，∴sinB=$\frac{1}{2}$，（3分）
∴再由△ABC为锐角三角形得B=$\frac{π}{6}$，（5分）
∵由正弦定理可得$\frac{a}{2c}$=$\frac{sinA}{2sinC}$=$\frac{sin（\frac{5π}{6}-C）}{2sinC}$=$\frac{\frac{1}{2}cosC+\frac{\sqrt{3}}{2}sinC}{2sinC}$=$\frac{1}{4tanC}+\frac{\sqrt{3}}{4}$，（7分）

又∵三角形是锐角三角形，故C∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
∴tanC∈（$\sqrt{3}$，+∞），
∴$\frac{a}{2c}$=$\frac{1}{4tanC}+\frac{\sqrt{3}}{4}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．（12分）

故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，正切函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．