Question

19．下列叙述中：
①若min{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}{m（m≤n）}\\{n（m＞n）}\end{array}\right.$，则函数f（x）=min{x${\;}^{\frac{1}{3}}$，2^x-2，1-3x}存在最大值；
②设函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$（x≠±1），则f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=0；
③设集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$，若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，则x₀的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
④设函数y=f（x）为函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的反函数，且y=f（-x²-ax+1）在x∈（2，3）上单调递增，则实数a∈[-4，-$\frac{8}{3}$）；
⑤若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a（x＜1）}\\{4（x-a）（x-2a），（x≥1）}\end{array}\right.$恰有2个零点，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）∪[2，+∞）．
所有正确叙述的序号是①②③⑤．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=min{x${\;}^{\frac{1}{3}}$，2^x-2，1-3x}的图象可判断①；根据f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，可判断②；画出函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$的图象，数形结合，可判断③；根据复合函数的单调性和对数函数的图象和性质，可判断④；讨论满足函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a（x＜1）}\\{4（x-a）（x-2a），（x≥1）}\end{array}\right.$恰有2个零点的实数a的取值范围，可判断⑤．

解答 解：函数f（x）=min{x${\;}^{\frac{1}{3}}$，2^x-2，1-3x}的图象如下图所示：

由图可得，函数存在最大值，故①正确；
函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$（x≠±1），则f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
故f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=0，故②正确；
设集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

若f[f（x₀）]∈A，则f（x₀）∈（$\frac{3}{4}$，1]，
又由x₀∈A，故x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），故③正确；
函数y=f（x）为函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的反函数，则f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$；
若y=f（-x²-ax+1）在x∈（2，3）上单调递增，
则x∈（2，3）时，t=-x²-ax+1为减函数，且t＞0恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}-\frac{a}{2}≤2\\-9-3a+1≥0\end{array}\right.$，解得：a∈[-4，-$\frac{8}{3}$]，故④错误；
设h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），
若在x＜1时，h（x）=2^x-a与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x-a）（x-2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函数h（x）=2^x-a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x-a）（x-2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2-a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x₁=a，x₂=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）∪[2，+∞），故⑤正确；
故正确的命题有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤

点评 本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的最值，函数求值，分段函数的应用，反函数，函数的单调性，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，综合性强，属于难题．