Question

17．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），若g（x）=x²f（x），则不等式g（x）＜g（1-3x）的解集是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（-x）=-f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x²f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
又g（0）=0，g（-x）=x²f（-x）=-g（x），
∴函数g（x）是R上的奇函数，
∴g（x）是R上的增函数．
由不等式g（x）＜g（1-3x），
∴x＜1-3x，
解得$x＜\frac{1}{4}$．
∴不等式g（x）＜g（1-3x）的解集为：$\{x|x＜\frac{1}{4}\}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．