题目内容

【题目】已知a≠0,集合A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|x2+2x﹣8≥0},C={x|x2﹣4ax+3a2<0},且C(A∩RB).求实数a的取值范围.

【答案】解:依题意得:A={x|﹣2<x<3},B={x|x≤﹣4或x≥2},(CRB)={x|﹣4<x<2}
∴A∩(CRB)=(﹣2,2)
①若a>0,则C={x|a<x<3a},
由C(A∩CRB)得 ,解得0<a≤
②若a<0,则C={x|3a<x<a},
由C(A∩CRB)得 ,解得﹣ ≤a<0
综上,实数a的取值范围为0<a≤ 或﹣ ≤a<0
【解析】先通过解一元二次不等式化简集合A和B,再求集合B的补集,最后求出A∩(CRB),由于一元二次方程x2﹣4ax+3a2=0的两个根是:a,3a.欲表示出集合C,须对a进行分类讨论:①若a>0,②若a<0,再结合C(A∩CRB),列出不等关系求得a的取值范围,最后综合得出实数a的取值范围即可.
【考点精析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算的相关知识点,需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法才能正确解答此题.

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