Question

【题目】设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求 的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），

∴f（1）=0

令 ，则 ，

∴

（2）解：设0＜x1＜x2，则

∵当x＞1时，f（x）＞0

∴

所以f（x）在（0，+∞）上是增函数

（3）解：∵y=4sinx的图象如右图所示

又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4

由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，

且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，

由图象在[0，2π]内有1个交点，

在（2π，4π]内有2个交点，

在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，

后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．

故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个

【解析】（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 ，即可求出 的值；（2）先在定义域内任取两个值x1 ， x2 ， 并规定大小，然后判定出f（x1），与f（x2）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；（3）分别画出y=4sinx的图象与y=f（x）的图象，结合图象以及函数的单调性判定出交点的个数即可．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．