题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，过原点
且斜率为1的直线交椭圆于
两点，四边形
的周长与面积分别为12与
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线
与圆
相切，且与椭圆交于
两点，求原点到
的中垂线的最大距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）不妨设点
是第一象限的点，由四边形
的周长求出
，面积求出
与
关系，再由点
在直线
上，得到
与关系，代入椭圆方程，求解即可；
（2）先求出直线
斜率不存在时，原点到
的中垂线的距离，斜率为0时与椭圆只有一个交点，直线斜率存在时，设其方程为
，利用与圆
相切，求出
关系，直线方程与椭圆方程联立，求出中点坐标，得到的中垂线方程，进而求出原点到中垂线的距离表达式，结合
关系，即可求出结论.
（1）不妨设点是第一象限的点，
因为四边形的周长为12，所以
，
，
因为
，所以
，
得
，点为过原点
且斜率为1的直线与椭圆的交点，
即点在直线上，点
在椭圆
上，
所以
，即
，
解得
或
（舍），
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线为
，
线段的中垂线为
轴，原点到轴的距离为0.
当直线的斜率存在时，设斜率为
，依题意可设
，
因为直线与圆相切，所以
，
设
，
，联立
，
得
，
由
，得
，又因为
，所以
，
所以
，
所以的中点坐标为
，
所以的中垂线方程为
，
化简，得
，
原点到直线中垂线的距离
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以原点到的中垂线的最大距离为.
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【题目】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从
到
）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到
），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程
中，
.
