题目内容
【题目】如图所示，在四棱台
中，
底面
，四边形为菱形，
，
.
（1）若
为
中点，求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
试题（1）连接
，可证
，又因为
底面
，可得
，即可得证.
（2）如图建立空间直角坐标系
，求出
和平面
的一个法向量
的坐标，则直线
与平面所成角的正弦值
.
试题解析：
（Ⅰ）∵四边形为菱形，
，连结，则
为等边三角形，
又∵
为
中点∴
，由
得∴
∵底面，
底面∴，又∵
∴
平面
（Ⅱ）∵四边形为菱形，，
，
得
，
，∴
又∵底面，
分别以
，
，
为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
、
、
、
∴
，
，
设平面的一个法向量
，
则有
，令
，则
∴直线与平面所成角
的正弦值
．
点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线
垂直，证明
平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量
，结合
得到结论.
愉快的寒假南京出版社系列答案
【题目】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.
（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
【题目】新高考3+3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．
（1）请完成下面的2×2列联表；
选择全理 | 不选择全理 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合计 |
（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
（3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附：
，其中
.
