Question

15．已知关于x的方程x²-2mx+4m²-6=0的两根α，β，且α＜0＜β，试求（α-1）²+（β-1）²的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=x²-2mx+4m²-6，则由题意可得f（0）=4m²-6＜0，求得-$\sqrt{\frac{3}{2}}$＜m＜$\sqrt{\frac{3}{2}}$，再由韦达定理、二次函数的性质求得（α-1）²+（β-1）²取的范围．

解答 解：设f（x）=x²-2mx+4m²-6，则由题意可得f（0）=4m²-6＜0，故有-$\sqrt{\frac{3}{2}}$＜m＜$\sqrt{\frac{3}{2}}$，
且由韦达定理可得 α+β=2m，α•β=4m²-6，
∴（α-1）²+（β-1）²=α²+β²-2（α+β）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4m²-2（4m²-6）-2•2m+2=-4m²-4m+14=-4${（m+\frac{1}{2}）}^{2}$+15，
故当m=-$\frac{1}{2}$时，（α-1）²+（β-1）²取得最大值15；
当m趋于$\sqrt{\frac{3}{2}}$时，（α-1）²+（β-1）² 趋于5+4$\sqrt{6}$，
故（α-1）²+（β-1）² 趋的范围是（5+4$\sqrt{6}$，15]．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．