Question

5．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域为（-∞，-1]∪[3，+∞），则a²⁰⁰⁸=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 对a分类分析，可知当a＞0时，函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域符合题意，求出其值域，结合f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）列关于a的方程组求a，则答案可求．

解答 解：若a=0，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1=x+1，不满足值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）；
若a＜0，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数，函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1的值域为（-∞，+∞），不满足题意；
若a＞0，则当x＞0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1$≥2\sqrt{x•\frac{a}{x}}+1=2\sqrt{a}+1$，当且仅当x=$\sqrt{a}$时取“=”；
当x＜0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+1≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{a}{-x}}+1=-2\sqrt{a}+1$，当且仅当x=-$\sqrt{a}$时取“=”．
由$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{a}+1=3}\\{-2\sqrt{a}+1=-1}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴a²⁰⁰⁸=1²⁰⁰⁸=1．
故选：B．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用基本不等式求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．