如图.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$.椭圆和曲线E:x2=2py相交于A.B两点.且M(-$\sqrt{2}$+1.2$\sqrt{2}$).B两点关于直线y=x+$\sqrt{2}$对称．(1)写出点A.B的坐标并求出椭圆和曲线E的方程,(2)设经� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆和曲线E：x²=2py（p＞0）相交于A、B两点，且M（-$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$），B两点关于直线y=x+$\sqrt{2}$对称．
（1）写出点A，B的坐标并求出椭圆和曲线E的方程；
（2）设经过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于C、D两点，判断点P（2$\sqrt{2}$，0）与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．

分析（1）通过M（-$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$），B两点关于直线y=x+$\sqrt{2}$对称可知B（$\sqrt{2}$，1），将其代入曲线E可知其方程，代入椭圆方程并联立其离心率计算可知椭圆方程，利用对称性即得点A的坐标；
（2）通过（1）可设直线l方程为：x=my+$\sqrt{2}$，并与椭圆方程联立、结合韦达定理及两点间距离公式可知|CD|=$\frac{4+4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，通过中点坐标公式及两点间距离公式计算可知|PQ|=$\frac{\sqrt{8{m}^{4}+18{m}^{2}+8}}{2+{m}^{2}}$，进而比较|PQ|与$\frac{1}{2}$|CD|的大小即得结论．

解答解：（1）依题意，设A（x，y），B（m，n），
∵M（-$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$），B两点关于直线y=x+$\sqrt{2}$对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+2\sqrt{2}}{2}=\frac{m-\sqrt{2}+1}{2}+\sqrt{2}}\\{\frac{2\sqrt{2}-n}{-\sqrt{2}+1-m}=-1}\end{array}\right.$，化简得：$\left\{\begin{array}{l}{m+1=n+\sqrt{2}}\\{m+n=\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，即B（$\sqrt{2}$，1），
∵点B在曲线E：x²=2py（p＞0）上，
∴2=2p，即p=1，
∴曲线E方程为：x²=2py，
∵点B在离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
由对称性可知：A（-$\sqrt{2}$，1）；
（2）由（1）可知：F（$\sqrt{2}$，0），设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
设直线l方程为：x=my+$\sqrt{2}$，并与椭圆方程联立，
消去x整理得：$（2+{m}^{2}）{y}^{2}+2\sqrt{2}my-2=0$，
则y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$
=$\frac{4+4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，
∵线段CD的中点Q（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}$），P（2$\sqrt{2}$，0），
∴|PQ|=$\sqrt{（2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{8{m}^{4}+18{m}^{2}+8}}{2+{m}^{2}}$，
令|PQ|=$\frac{1}{2}$|CD|，则（2+2m²）²=8m⁴+18m²+8，
整理得：m⁴+$\frac{5}{2}$m²+1=0，无解，
∴|PQ|＞$\frac{1}{2}$|CD|，
即点P（2$\sqrt{2}$，0）在以线段CD为直径的圆周的外部．