Question

1．对于函数f（x），若存在x₀∈R使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线$y=kx+\frac{1}{{2{a^2}+1}}$对称，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1，b=3代入f（x）=x²+4x+2，化简f（x）=x求出x的值，根据题意即可求出函数f（x）的不动点；
（2）化简f（x）=x后，由不动点的定义和判别式的符号，列出不等式求出a的取值范围；
（3）由题意设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），根据对称求出k以及A、B的中点M的坐标，把M的坐标代入直线$y=kx+\frac{1}{2{a}^{2}+1}$求出b，利用基本不等式求出b的最小值．

解答 解：（1）若a=1，b=3，f（x）=x²+4x+2，
代入f（x）=x化简得x²+3x+2=0，解得x=-2、-1，
则f（x）的不动点为-2，-1…..（4分）
（2）由题意知，函数f（x）恒有两个相异的不动点，
所以方程f（x）=x即ax²+bx+b-1=0（a≠0）恒有两个不等实根，
则△=b²-4a（b-1）＞0，即b²-4ab+4a＞0对任意实数b恒成立，
即△=（-4a）²-4×4a＜0，解得0＜a＜1，所以0＜a＜1…（10分）
（3）因为A、B两点关于直线$y=kx+\frac{1}{{2{a^2}+1}}$对称，
所以AB与直线垂直，且中点M在直线上，
设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），由（2）知，${x_1}+{x_2}=-\frac{b}{a}$，
所以AB的中点$M（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}），即（-\frac{b}{2a}，-\frac{b}{2a}）$，
易知k_AB=1，∴k=-1，
把M点代入得$-\frac{b}{2a}=-（-\frac{b}{2a}）+\frac{1}{2{a}^{2}+1}$，则$b=-\frac{a}{2{a}^{2}+1}$，
由（2）得0＜a＜1，
所以$b=-\frac{a}{2{a}^{2}+1}=-\frac{1}{2a+\frac{1}{a}}$
因为$2a+\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{2}$，所以b≥-$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$2a=\frac{1}{a}$$即a=\frac{\sqrt{2}}{2}时，{b}_{min}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$…（14分）

点评 本题考查新定义的应用，二次方程的根与判别式的关系，直线的对称问题，以及基本不等式的应用，属于中档题．