题目内容

16．等差数列{an}中，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，且其前n项和Sn有最小值，以下命题正确的是①③⑤．
①公差d＞0； ②{an}为递减数列； ③S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零；④n=19时，Sn最小；⑤n=10时，Sn最小．

分析 由题意可得数列的前10项为负数，从第11项开始为正数，且a10+a11＞0，由等差数列的求和公式和性质逐个选项验证可得．

解答 解：∵等差数列{an}前n项和Sn有最小值，∴公差d＞0，①正确，②错误；
又∵$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，∴a10＜0，a11＞0，且a10+a11＞0，
∴等差数列{an}的前10项为负数，从第11项开始为正数，
∴当n=10时，Sn最小，④错误，⑤正确；
∴S19=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=$\frac{19×2{a}_{10}}{2}$=19a10＜0，
S20=$\frac{20（{a}_{1}+{a}_{20}）}{2}$=10（a10+a11）＞0，
∴S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零，③正确．
故答案为：①③⑤

点评 本题考查等差数列的求和公式和性质，判定出数列项的正负变化是解决问题的关键，属中档题．

练习册系列答案
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④方程f（x）=4有唯一实数根
其中正确命题的序号是①③（经所有正确命题的序号填写在横线上）．

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