Question

4．已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

Answer 1

分析 将a+b+c=1代入，再利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵a、b、c为正实数，且a+b+c=1，
∴（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{1-b}{b}$•$\frac{1-c}{c}$
=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，
当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查用综合法证明不等式，属于中档题．