Question

19．如图，球O中有一内接圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的侧面积为16$\sqrt{2}$π，则球O的体积为32$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，表示体积，利用基本不等式，可得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R时取等号，根据圆柱的侧面积为16$\sqrt{2}$π，求出R，即可求出球O的体积．

解答 解：设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则
V=πR²•2h=2πr²h=2πh（R²-h²）=$\sqrt{2}$π（$\sqrt{2}$h•$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$•$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$）≤$\sqrt{2}$π•$（\frac{2{R}^{2}}{3}）^{\frac{3}{2}}$
当且仅当$\sqrt{2}$h=$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，即h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R时取等号．
圆柱的侧面积为2πr•2h=16$\sqrt{2}$π，
∴rh=4$\sqrt{2}$，
∴R=2$\sqrt{3}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}π•（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}$π．
故答案为：32$\sqrt{3}$π．

点评 本题考查圆柱的侧面积、体积，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．