Question

15．已知正实数a，b，c满足ab+bc+ca≤1，证明：a+b+c+$\sqrt{3}$≥8abc（$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{{b}^{2}+1}$+$\frac{1}{{c}^{2}+1}$）

Answer 1

分析 可由不等式的右边开始，将分母的1放缩，结合分解因式和通分，再由基本不等式化简整理，即可得证．

解答 证明：正实数a，b，c满足ab+bc+ca≤1，
则8abc（$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{{b}^{2}+1}$+$\frac{1}{{c}^{2}+1}$）
≤8abc（$\frac{1}{{a}^{2}+ab+bc+ca}$+$\frac{1}{{b}^{2}+ab+bc+ca}$+$\frac{1}{{c}^{2}+ab+bc+ca}$）
=8abc（$\frac{1}{（a+b）（a+c）}$+$\frac{1}{（a+b）（b+c）}$+$\frac{1}{（a+c）（b+c）}$）
=8abc•$\frac{2（a+b+c）}{（a+b）（b+c）（c+a）}$≤8abc•$\frac{2（a+b+c）}{2\sqrt{ab}•2\sqrt{bc}•2\sqrt{ca}}$
=2（a+b+c），
由2（a+b+c）-（a+b+c+$\sqrt{3}$）=（a+b+c）-$\sqrt{3}$．
要证（a+b+c）-$\sqrt{3}$≤0，
即证（a+b+c）²≤3，
即（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）≤1，
即（a+b+c）²≤1+2（ab+bc+ca）≤1+2=3，
则a+b+c≤$\sqrt{3}$．
即有a+b+c+$\sqrt{3}$≥8abc（$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{{b}^{2}+1}$+$\frac{1}{{c}^{2}+1}$），
当且仅当a=b=c取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用放缩法和基本不等式证明，考查推理能力，属于中档题．