Question

【题目】已知直线与函数的图像相切于点．

（1）求实数的值；

（2）证明除切点外，直线总在函数的图像的上方；

（3）设是两两不相等的正实数，且成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) ；证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用直线与曲线相切的关系列方程求解可得 ；

(2) 构造函数，结合题意、原函数与导函数之间的联系进行证明即可；

(3)，利用题意结合(1),(2)的结论和对数的性质进行证明即可.

试题解析：

（1）设切点为，则．

由，有，解得，

于是，得．

（2）构造函数，其导数．

当时，；当时，；

所以在区间单调递减，在区间单调递增．

所以．

因此对于，总有，

即除切点外，直线总在函数的图像的上方．

（3）因为是两两不相等的正实数，所以．

又因为成等比数列，所以，

于是．

而，

．

由于，且函数是增函数，因此

，

故．