题目内容
【题目】已知椭圆
：
与
轴的正半轴相交于点
，点
为椭圆的焦点，且
是边长为2的等边三角形，若直线
与椭圆交于不同的两点
．
（1）直线
的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）求
的面积的最大值．
【答案】（1）
;（2）
.
【解析】试题分析：第1)由基本量求出椭圆方程后,利用“设而不求”的思想,将
用
,
表示,也就是用
表示,最终化出定值;
(2)将面积用
表示,化为关于的函数,用基本不等式求最值.
试题解析：（1）因为
是边长为2的等边三角形，
所以
，
，
，所以
，
所以椭圆
：
，点
.
将直线
代入椭圆的方程，
整理得：
，（*）
设
，则由（*）式可得
，
所以
，
，
，
所以直线
的斜率之积
所以直线的斜率之积是定值.
（2）记直线与
轴的交点为
，
则
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的面积的最大值为.
点晴：本题主要考查椭圆基本量的计算,直线与椭圆相交中的定值、最值问题,考查转化能力、计算能力.第(1)问由基本量求出椭圆方程后,利用“设而不求”的思想,将用,表示,也就是用表示,最终化出定值;第(2)问将面积用表示,化为关于的函数,用基本不等式求最值.
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