Question

【题目】已知双曲线的实轴端点分别为，记双曲线的其中一个焦点为，一个虚轴端点为，若在线段上（不含端点）有且仅有两个不同的点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】由于在线段上(不含端点)有且仅有两个不同的点,使得,说明以为直径的圆与有两个交点.首先要满足,即,另外还要满足原点到直线 (不妨取为双曲线的上焦点,为右端点)的距离小于半径,因为原点到直线的距离为,则,整理得,即,解得.综上可知.故选.

点晴：本题考查的是双曲线的离心率的求法.关键是构建等式和不等式最终确定离心率的求法.

分析题意可得出构成以为斜边的直角三角形，结合求出再由得出的关系式，然后进行求解，即可确定的取值范围，使问题得解.