题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，
是
上一点，且
.
（1）求的方程；
（2）设点
是上异于点
的一点，直线
与直线
交于点
，过点作
轴的垂线交于点
，证明：直线
过定点.
【答案】（1）
的方程为
；（2）见解析.
【解析】
（1）由抛物线的定义利用
.可求
，进而求得的方程；
（2）证明：设
，
.由题意，可设直线
的方程为
，代入，得
.由
轴及点
在直线
上，得
，
则由
，，
三点共线，得
，
整理，得
.结合韦达定理可得
. 由点的任意性，得
，即可证明.
（1）解：根据题意知，
，①
因为，所以
.②.
联立①②解的
，.
所以的方程为.
（2）证明：设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得.
根与系数的关系.得
，
.③
由轴及点在直线上，得，
则由，，三点共线，得，
整理，得.
将③代入上式并整理，得.
由点的任意性，得，所以
.
即直线恒过定点
.
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