题目内容
【题目】已知函数的图象经过点
,且在点
处的切线方程为
.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间
【答案】
【解析】
(1)求出导函数,题意说明
,
,
,由此可求得
;
(2)解不等式得增区间,解不等式
得减区间.
(1)∵f(x)的图象经过P(0,2),∴d=2,
∴f(x)=x3+bx2+ax+2,f'(x)=3x2+2bx+a.
∵点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0
∴f'(x)|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①,
还可以得到,f(﹣1)=y=1,即点M(﹣1,1)满足f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1②
由①、②联立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.
(2)f'(x)=3x2﹣6x﹣3.令3x2﹣6x﹣3=0,即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+
.
当x<1-,或x>1+
时,f'(x)>0;当1-
<x<1+
时,f'(x)<0.
故f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣),(1+
,+∞);单调减区间为(1﹣
,1+
)
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