题目内容

【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段上取两个点,使得,以为一边在线段的上方做一个正六边形,然后去掉线段,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:

记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为,现给出有关数列的四个命题:

①数列是等比数列;

②数列是递增数列;

③存在最小的正数,使得对任意的正整数 ,都有

④存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有

其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).

【答案】②④

【解析】

通过分析图1到图4,猜想归纳出其递推规律,再判断该数列的性质,即可求解。

由题意,得图1中线段为,即

2中正六边形边长为,则

3中的最小正六边形边长为,则

4中的最小正六边形边长为,则

由此类推,

所以为递增数列,但不是等比数列,即①错误,②正确;

因为

即存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有

即④正确;③错误,

综上可知正确的由②④。

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