Question

【题目】函数fn（x）＝xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．

（1）若n＝﹣1，且f﹣1（1）＝f﹣1（）＝5，试求实数b，c的值；

（2）设n＝2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤6恒成立，求b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）b＝3，c＝1；（2）﹣3≤b≤3．

【解析】

（1）由条件可得，的方程，解方程可得，；（2）当时，，对任意，，有恒成立等价于在，上的最大值与最小值之差．讨论对称轴和区间的关系，判断单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围．

（1）n＝﹣1时，f﹣1（x）＝x﹣1+bx+c，

且f﹣1（1）＝f﹣1（）＝5，

可得1+b+c＝5，3b+c＝5，解得b＝3，c＝1；

（2）当n＝2时，f2（x）＝x2+bx+c，

对任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤6恒成立等价于

f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤6．

①当1，即b＞2时，f2（x）在[﹣1，1]递增，

f2（x）min＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，f2（x）max＝f2（1）＝1+b+c，

M＝2b＞4，且2b≤6，可得2＜b≤3；

②当﹣10，即0≤b≤2时，f2（x）在[﹣1，]递减，在（，1]递增，

f2（x）min＝f2（）＝c，f2（x）max＝f2（1）＝1+b+c，M＝（1）2≤6恒成立，故0≤b≤2；

③当01即﹣2≤b＜0时，f2（x）在[﹣1，]递减，在（，1]递增，

f2（x）min＝f2（）＝c，f2（x）max＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，M＝（1）2≤6恒成立，故﹣2≤b＜0；

④当1，即b＜﹣2时，f2（x）在[﹣1，1]递减，

f2（x）min＝f2（1）＝1+b+c，f2（x）max＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，

M＝﹣2b＞4且﹣2b≤6，可得﹣3≤b＜﹣2．

综上可得，b的取值范围是﹣3≤b≤3．