Question

【题目】设函数f（x）=
（1）令N（x）=（1+x）2﹣1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（﹣1，+∞）上的单调性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？ （参考公式：[ln（1+x）′]= ）

Answer 1

【答案】
（1）解：当x＞﹣1时，N′（x）=2x+2+ ＞0

所以，N（x）在（﹣1，+∞）上是单调递增，N（0）=0

（2）解：f（x）的定义域是（﹣1，+∞）

当﹣1＜x＜0时，N（x）＜0，所以，f′（x）＜0，

当x＞0时，N（x）＞0，所以，f′（x）＞0，

所以，在（﹣1，0）上f（x）单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，

所以，fmin=f（0）=0

（3）解：由（2）知f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，

若存在m，n满足条件，则必有f（m）=m，f（n）=n，

也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有两个不等的实根m，n，

但方程f（x）=x，即 =0只有一个实根x=0，

所以，不存在满足条件的实数m，n

【解析】（1）先对函数求导，由导函数在x＞﹣1时的符号判断函数的单调性，代入求N（0）的值，（2）直接求定义域，利用f（x）单调性求解函数f（x）的最小值、值域，（3）假设存在符合条件的m，n则有 ，推导可判断m，n是否存在．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．