Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= ．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a+c=6①，b=2，cosB= ，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ ac=36﹣ ac=4，

整理得：ac=9②，

联立①②解得：a=c=3

（2）解：∵cosB= ，B为三角形的内角，

∴sinB= = ，

∵b=2，a=3，sinB= ，

∴由正弦定理得：sinA= = = ，

∵a=c，即A=C，∴A为锐角，

∴cosA= = ，

则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= × ﹣ × =

【解析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．