Question

14．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在点E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和a，b，c的关系，由弦长为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．解方程可得椭圆方程；
（2）假设存在点E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值，设E（x₀，0），讨论直线AB与x轴重合和垂直，以及斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到定值．

解答 解：（1）由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，设a=3k（k＞0），
则$c=\sqrt{6}k$，b²=3k²，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{9{k^2}}}+\frac{y^2}{{3{k^2}}}=1$，
因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即${x_A}={x_B}=\sqrt{6}k$，
代入椭圆方程，解得y=±k，于是$2k=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即$k=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）假设存在点E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值，设E（x₀，0），
当直线AB与x轴重合时，有$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=\frac{1}{{{{（{x_0}+\sqrt{6}）}^2}}}+\frac{1}{{{{（\sqrt{6}-{x_0}）}^2}}}=\frac{{12+2{x_0}^2}}{{{{（6-{x_0}^2）}^2}}}$，
当直线AB与x轴垂直时，$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=\frac{2}{{2（1-\frac{{{x_0}^2}}{6}）}}=\frac{6}{{6-{x_0}^2}}$，
由$\frac{{12+2{x_0}^2}}{{{{（6-{x_0}^2）}^2}}}=\frac{6}{{6-{x_0}^2}}$，解得${x_0}=±\sqrt{3}$，$\frac{6}{{6-{x_0}^2}}=2$，
所以若存在点E，此时$E（±\sqrt{3}，0）$，$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值2．
根据对称性，只需考虑直线AB过点$E（\sqrt{3}，0）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又设直线AB的方程为$x=my+\sqrt{3}$，与椭圆C联立方程组，
化简得$（{m^2}+3）{y^2}+2\sqrt{3}my-3=0$，所以${y_1}+{y_2}=\frac{{-2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+3}}$，
又$\frac{1}{{E{A^2}}}=\frac{1}{{{{（{x_1}-\sqrt{3}）}^2}+{y_1}^2}}=\frac{1}{{{m^2}{y_1}^2+{y_1}^2}}=\frac{1}{{（{m^2}+1）{y_1}^2}}$，
所以$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=\frac{1}{{（{m^2}+1）{y_1}^2}}+\frac{1}{{（{m^2}+1）{y_2}^2}}=\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-2{y_1}{y_2}}}{{（{m^2}+1）{y_1}^2{y_2}^2}}$，
将上述关系代入，化简可得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}=2$．
综上所述，存在点$E（±\sqrt{3}，0）$，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．