Question

17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=$\frac{π}{3}$．
（1）若b=3，$2sinA=sin（A+\frac{π}{3}）$，求A和a，c；
（2）若sinAsinC=$\frac{1}{2}$，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求b的大小．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（A-\frac{π}{6}）=0$，结合0＜A＜π，可求A，C，由勾股定理即可求得a，c的值．
（2）由正弦定理可得$\frac{ac}{sinAsinC}=\frac{b^2}{{{{sin}^2}B}}$，从而可得${b^2}=\frac{3}{2}ac$，结合${S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，可得ac的值，从而可求b的大小．

解答 解：（1）∵$2sinA=sin（A+\frac{π}{3}）$
∴$2sinA=\frac{1}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA$…（1分）
∴$\frac{3}{2}sinA-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=0$
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（A-\frac{π}{6}）=0$…（2分）
∵0＜A＜π
∴$A-\frac{π}{6}=0$
∴$A=\frac{π}{6}$…（3分）
∵$B=\frac{π}{3}$
∴$C=\frac{π}{2}$…（4分）
∵b=3
∴在直角△ABC中，$a=\sqrt{3}$，$c=2\sqrt{3}$…（6分）
（2）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$
∴$\frac{ac}{sinAsinC}=\frac{b^2}{{{{sin}^2}B}}$
∴$\frac{ac}{{\frac{1}{2}}}=\frac{b^2}{{\frac{3}{4}}}$
∴${b^2}=\frac{3}{2}ac$…（8分）
∵${S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{2}acsinB=2\sqrt{3}$
∴ac=8…（11分）
∴b²=$\frac{3}{2}$×8=12
∴b=2$\sqrt{3}$…（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．