题目内容
【题目】已知函数,其中
(Ⅰ)若函数在
处的切线与直线
垂直,求
的值;
(Ⅱ)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(Ⅲ)若,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,函数
有一个极值点;当
时,函数
无极值点;当
时,函数
有两个极值点;(3)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)对函数求导,利用导数的几何意义可得切线的斜率,结合切线与直线垂直,可求得
的值;(Ⅱ)根据
,令
.对
与
分类讨论可得:(1)当
时,此时
,即可得出函数的单调性与极值的情况;(2)当
时,
,①当
时,
,②当
时,
,即可得出函数的单调性与极值的情况;(3)当
时,
,即可得出函数的单调性与极值的情况;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:(1)当
时,可得函数
在
上单调性,即可判断出;(2)当
时,由
,可得
,函数
在
上单调性,即可判断出;(3)当
时,设
,研究其单调性,即可判断.
试题解析:(Ⅰ)因为,由
在
处的切线与直线
垂直,
可知,所以
;
(Ⅱ)由题意知,函数的定义域为
,
,
令,
.
(i)当时,
,此时
,函数
在
单调递增,无极值点;
(ii)当时,方程
的判别式
.
①当时,
,
,
,函数
在
单调递增,无极值点;
②当时,
,设方程
的两根为
,
,因为
,
的对称轴方程为
,所以
,
,由
,
可得
.
所以当时,
,
,函数
单调递增;
当时,
,
,函数
单调递减;
当时,
,
,函数
单调递增.因此函数
有两个极值点.
(iii)当时,
,由
,可得
,
当时,
,
,函数
单调递增;
当时,
,
,函数
单调递减,所以函数有一个极值点.
综上所述,当时,函数
有一个极值点;
当时,函数
无极值点;
当时,函数
有两个极值点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
①当时,函数
在
单调递增,因为
,所以
时,
,符合题意;
②当时,
,得
,函数
在
上单调递增,又
,所以
时,
,符合题意;
③当时,设
,因为
时,所以
,所以
在
上单调递增,所以
,即
,可得
,而当
时,
,即此时
,不符合题意.
综上所述, 的取值范围是
.
