题目内容

【题目】已知函数,其中

(Ⅰ)若函数处的切线与直线垂直,求的值;

(Ⅱ)讨论函数极值点的个数,并说明理由;

(Ⅲ)若 恒成立,求的取值范围.

【答案】(1);(2)当时,函数有一个极值点;当时,函数无极值点;当时,函数有两个极值点;(3).

【解析】试题分析:(Ⅰ)对函数求导,利用导数的几何意义可得切线的斜率,结合切线与直线垂直,可求得的值;(Ⅱ)根据,令.对分类讨论可得:(1)当时,此时,即可得出函数的单调性与极值的情况;(2)当时, ,①当时, ,②当时, ,即可得出函数的单调性与极值的情况;(3)当时, ,即可得出函数的单调性与极值的情况;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:(1)当时,可得函数上单调性,即可判断出;(2)当时,由,可得,函数上单调性,即可判断出;(3)当时,设,研究其单调性,即可判断.

试题解析:(Ⅰ)因为,由处的切线与直线垂直,

可知,所以

(Ⅱ)由题意知,函数的定义域为

.

(i)当时, ,此时,函数单调递增,无极值点;

(ii)当时,方程的判别式.

①当时, ,函数单调递增,无极值点;

②当时, ,设方程的两根为 ,因为

的对称轴方程为,所以 ,由

可得 .

所以当时, ,函数单调递增;

时, ,函数单调递减;

时, ,函数单调递增.因此函数有两个极值点.

(iii)当时, ,由,可得

时, ,函数单调递增;

时, ,函数单调递减,所以函数有一个极值点.

综上所述,当时,函数有一个极值点;

时,函数无极值点;

时,函数有两个极值点.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

①当时,函数单调递增,因为,所以时, ,符合题意;

②当时, ,得,函数上单调递增,又,所以时, ,符合题意;

③当时,设,因为时,所以 ,所以上单调递增,所以,即,可得 ,而当时, ,即此时,不符合题意.

综上所述, 的取值范围是.

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