题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
是边长为
的棱形,且
分别是
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若二面角的大小为
,求点
到平面
的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)取中点
,先证明
平面
,再证明平面
平面
,又
,则可得
平面
(2)先找出
为二面角
的平面角,即
,接下来证明
平面
,所以三棱锥
的高为2.再求
的面积
,利用三棱锥
的体积与三棱锥
的体积相等,即求得点
到平面
的距离.
试题解析:
(1)证明:取中点
,连接
.
在中,
,
,所以
为正角形.
又为
中点,
.
因为,所以
.
又,故
平面
.
因为分别是
的中点,所以
.
又,所以平面
平面
.
又,故
平面
.
(2)解:因为平面
,所以
,
,
则为二面角
的平面角,即
.
因为,所以
.
因为,且
,所以
.
所以,且
.
因为平面
,所以
.
所以平面
,所以三棱锥
的高为2.
于是三棱锥的体积
.
在中,
,所以
,
.
则在中,
,
,
,
所以,于是
的面积
.
设点到平面
的距离为
,三棱锥
的体积与三棱锥
的体积相等,所以
,故
.
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