题目内容

【题目】已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点

（1）求椭圆的方程；

（2）已知、是椭圆上的两点， ， 是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②当， 运动时，满足,试问直线的斜率是否为定值，请说明理由

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析: (1)由椭圆的离心率及短轴端点坐标求出 ,得到椭圆方程; (2)①设 设直线AB方程为 ，联立直线与椭圆方程,消去 ,得到一个关于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面积公式,求出最大值; ②由 得到直线斜率之和为0，设直线 斜率为 ,则直线斜率为,直线 方程为,代入椭圆方程中,求出 的表达式,同理求出的表达式,再求出 的值,代入直线的斜率计算公式中,结果为定值.

试题解析:（1） ∴

∴ 又

∴ ∴ 椭圆方程为

（2）①设 ，

设方程 代入化简

，

又、

当时， 最大为

②当时， 、斜率之和为.

设斜率为，则斜率为

设方程

代入化简

同理

，

∴

直线的斜率为定值

点睛:本题主要考查了椭圆的标准方程及性质,直线与椭圆相交问题,一元二次方程根与系数关系,斜率的计算公式,考查了推理与计算能力, 属于难题.

练习册系列答案
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