题目内容
已知,动点满足.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,若,求直线的方程;
(Ⅲ)设为曲线在第一象限内的一点,曲线在处的切线与轴分别交于点,求面积的最小值.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,若,求直线的方程;
(Ⅲ)设为曲线在第一象限内的一点,曲线在处的切线与轴分别交于点,求面积的最小值.
(1)(2)(3)2
(Ⅰ)动点的轨迹的方程为 ; ………………………………3分
(Ⅱ)解法1 当直线的斜率不存在时,,,不合题意;
当直线的斜率存在时,设过的直线:,代入曲线的方程得
设,则
, 解得
故所求的直线的方程为;…………………………………9分
解法2 当直线为轴时, ,不合题意;
当直线不为轴时,设过的直线:,代入曲线的方程得
设,则
= 解得
故所求的直线的方程为;…………………………………9分
(Ⅲ)设由得
处曲线的切线方程为
令得; 令得.
由 ,
得.
故面积的最小值为2.…………………………………………14分
(Ⅱ)解法1 当直线的斜率不存在时,,,不合题意;
当直线的斜率存在时,设过的直线:,代入曲线的方程得
设,则
, 解得
故所求的直线的方程为;…………………………………9分
解法2 当直线为轴时, ,不合题意;
当直线不为轴时,设过的直线:,代入曲线的方程得
设,则
= 解得
故所求的直线的方程为;…………………………………9分
(Ⅲ)设由得
处曲线的切线方程为
令得; 令得.
由 ,
得.
故面积的最小值为2.…………………………………………14分
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