题目内容
已知圆锥曲线的两个焦点坐标是
,且离心率为
;
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线表示曲线
的
轴左边部分,若直线
与曲线
相交于
两点,求
的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果,且曲线
上存在点
,使
,求
的值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)由知圆锥曲线
为双曲线,再由焦点坐标知
,从而得
,即双曲线
的方程是
;(Ⅱ)设出
两点的坐标,再将直线
与曲线
方程联立,知方程应有两个根.再由二次项的系数、根的判别式、以及这两根应为负根,即两根之和小于0,两根之积大于0.从而得到
的取值范围;(Ⅲ)由
结合上问
的取值范围从而得到
,然后由
通过向量的坐标表示得到点
,代入曲线
的方程即可.
试题解析:(Ⅰ)由知,曲线
是以
为焦点的双曲线,且
,
故双曲线的方程是
. (3分)
(Ⅱ)设,联立方程组:
,
从而有:为所求. (8分)
(Ⅲ)因为,
整理得或
,
注意到,所以
,故直线
的方程为
. (10分)
设,由已知
,
又,所以
.
在曲线
上,得
,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
所以为所求. (13分)
考点:1.双曲线的几何性质;2.一元二次方程根的分布;3.直线与圆锥曲线的位置关系.
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