已知椭圆的离心率为,其中左焦点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆的离心率为,其中左焦点(-2,0).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上,求m的值.

(1);(2)

解析试题分析：（1）根据椭圆的基本性质列三个关于a,b,c的方程即可求出a,b。从而求出椭圆方程。（2）联立方程组消去y得到3x²+4mx+2m²-8=0，因为有两个交点，所以判别式大于0，解出m的范围，再由韦达定理得到两根之和，两根之积。根据中点坐标公式求出中点坐标，在将其代入圆的方程即可求出m.
试题解析： (1) 由题意,得解得∴椭圆C的方程为
(2) 设点A、B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂, y₂),线段AB的中点为M(x₀,y₀),
由消y得,3x²+4mx+2m²-8=0,
Δ=96-8m²>0,∴-2<m<2.
∴
∵点M(x₀,y₀)在圆x²+y²=1上,] 所以，所以
考点：椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系

练习册系列答案

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如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．

（1）求椭圆的方程；
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（Ⅰ）求椭圆的方程
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（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。