题目内容

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点,并求出该定点的坐标.

(Ⅰ)椭圆的标准方程为
(Ⅱ)直线l过定点,定点坐标为

解析试题分析:(Ⅰ)因为椭圆C上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.在椭圆中,可求,再根据椭圆的标准方程为求得.
(Ⅱ)联立直线l与椭圆方程得的一元二次方程,因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以,故,可得的关系式,再由点斜式的直线方程写出直线l过定点,注意检验.
试题解析:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为
由已知得:

(Ⅱ)设,联立
,则


因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),

,直线过定点(2,0),与已知矛盾;

所以,直线l过定点,定点坐标为
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的位置关系;3、韦达定理;4、直线的点斜式方程;5、点与圆的位置关系.

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