题目内容

在抛物线 y2=4x上恒有两点关于直线l:y=kx+3对称,求k的范围.

解析试题分析:设B,C关于直线对称,根据直线垂直斜率之积等于,可知直线AB的斜率为,但这样就会有一个弊端,也就是当直线l斜率为0时,直线AB的斜率就不存在了,所以这时就需要讨论。为了省去讨论的麻烦可直接将直线AB方程设为,设出B,C坐标可得出中点M的坐标,由对称性可知中点M恒在直线l上,代入方程得到方程,用k表示出m,还是有对称性可知中点M恒在抛物线内部,得到不等式,代入代入即可得出k的范围。
试题解析:设B,C关于直线对称,直线BC方程为,代入y2=4x,得。设,B,C中点,所以,因为在直线上,所以,整理得,因为在抛物线y2=4x内部,则,把m代入化简得,即,解得
考点:点关于直线的对称点问题,直线和圆锥曲线的位置关系问题

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