Question

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.

(1)求证:MN∥BC;

(2)若M,N分别为PB,PC的中点,

①求证:PB⊥DN;

②求二面角P-DN-A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析，

【解析】

（1）先证明BC∥平面ADNM，再证明MN∥BC.（2）①先证明PB⊥平面ADNM，再证明PB⊥DN. ②以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法求二面角P-DN-A的余弦值.

(1)证明因为底面ABCD为直角梯形,所以BC∥AD.

因为BC平面ADNM,AD平面ADNM,

所以BC∥平面ADNM.

因为BC平面PBC,平面PBC∩平面ADNM=MN,所以MN∥BC.

(2)①证明因为M,N分别为PB,PC的中点,PA=AB,所以PB⊥MA.

因为∠BAD=90°,所以DA⊥AB.

因为PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA.

因为PA∩AB=A,所以DA⊥平面PAB.

所以PB⊥DA.

因为AM∩DA=A,所以PB⊥平面ADNM.

因为DN平面ADNM,所以PB⊥DN.

②如图,以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由①知,PB⊥平面ADNM,所以平面ADNM的法向量为=(-2,0,2).

设平面PDN的法向量为n=(x,y,z),

因为=(2,1,-2),=(0,2,-2),

所以

令z=2,则y=2,x=1.

所以n=(1,2,2),

所以cos<n,>=.

所以二面角P-DN-A的余弦值为.