Question

（本小题满分13分）如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，
线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，
垂足是圆上异于、的点，
，圆的直径为9．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

(1)略
(2)

（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．

在正方形中，，
∵，∴平面．∵平面，
∴平面平面． …………4分
（2）解法1：∵平面，平面，
∴．

过点作于点，作交于点，连结，
由于平面，平面，
∴．∵，∴平面．
∵平面，∴．
∵，，∴平面．
∵平面，∴．
∴是二面角的平面角．
在△中，，，，
∵，∴．
在△中，，
∴．故二面角的平面角的正切值为． …………13分
解法2：∵平面，平面，
∴．∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为，
在△中，，
在△中，，
由，解得，．∴．
设平面的法向量为，
则即
取，则是平面的一个法向量．
∵，
∴．∴．故二面角的平面角的正切值为．